유클리드의 작도는 길이를 숫자로 읽는 일이 아니라, 허용된 몇 가지 기하학적 동작을 반복해 필요한 점과 선을 만들어 가는 과정이었습니다. 《원론》 제1권의 첫 세 공준은 두 점 사이에 직선을 긋고, 그 직선을 연장하고, 주어진 중심과 거리로 원을 그릴 수 있다고 놓습니다.
오늘날 이를 흔히 ‘눈금 없는 자와 컴퍼스 작도’라고 부릅니다. 다만 이것은 현대적인 요약입니다. 유클리드 본문이 현대 자와 컴퍼스라는 물리 도구의 사용설명서를 적은 것은 아니며, 어떤 기하학적 연산을 허용할지를 공준으로 제시한 것입니다.
《원론》의 첫 세 공준은 무엇을 허용할까?
| 공준 | 허용되는 동작 | 현대적으로 떠올리기 쉬운 도구 |
|---|---|---|
| 1 | 임의의 두 점을 잇는 직선을 그림 | 눈금 없는 자 |
| 2 | 유한한 직선을 계속 곧게 연장 | 자 |
| 3 | 어떤 중심과 어떤 거리로 원을 그림 | 컴퍼스 |
여기에는 ‘선분 AB의 길이는 5cm다’처럼 눈금에서 숫자를 읽는 동작이 없습니다. 필요한 길이는 기존 선분과 원의 반지름 관계를 통해 복사하거나 비교합니다.
첫 번째 명제는 왜 정삼각형 작도일까?
《원론》 제1권 명제 1은 주어진 선분 AB 위에 정삼각형을 만드는 문제입니다. 과정은 짧지만 유클리드식 작도의 특징을 잘 보여 줍니다.
- 중심 A, 반지름 AB인 원을 그립니다.
- 중심 B, 반지름 BA인 원을 그립니다.
- 두 원이 만나는 점을 C라고 합니다.
- A와 C, B와 C를 직선으로 잇습니다.
C
/ \
/ \
A-----B
원 1: 중심 A, 반지름 AB
원 2: 중심 B, 반지름 BA
두 원의 교점 = C
C는 첫 번째 원 위에 있으므로 AC=AB입니다. 동시에 두 번째 원 위에 있으므로 BC=BA입니다. 따라서 AB, AC, BC가 모두 같아 정삼각형이 됩니다.
여기서는 왜 자의 눈금이 필요하지 않을까?
AB의 실제 길이가 몇 센티미터인지 몰라도 됩니다. ‘중심과 거리로 원을 그리기’라는 연산이 AB 자체를 반지름으로 사용하기 때문입니다.
즉 작도에서 중요한 것은 수치가 아니라 같음의 관계입니다. AB가 7인지 70인지가 아니라 AC가 AB와 같은가, BC가 AB와 같은가를 이용합니다.
현대 좌표로 검산하면 같은 결과가 나올까?
유클리드의 증명에는 좌표가 필요하지 않습니다. 다만 현대 독자가 작도 결과를 수치로 검산하기 위해 AB=1인 좌표를 가정해 볼 수 있습니다.
A = (0, 0)
B = (1, 0)
두 원의 반지름 = 1
교점 C = (1/2, √3/2)
AC² = (1/2)² + (√3/2)²
= 1/4 + 3/4
= 1
따라서 AC = 1
BC도 같은 방식으로 1
이 계산은 고대 작도 절차의 일부가 아닙니다. 이미 완성된 작도를 현대 좌표로 확인한 교육용 검산입니다. 유클리드식 설명의 힘은 이런 좌표값 없이도 두 원의 정의만으로 세 변이 같음을 보인다는 데 있습니다.
컴퍼스는 한 선분의 길이를 다른 곳으로 바로 옮길 수 있었을까?
여기에는 흥미로운 해석 문제가 있습니다. 미국 클라크대학교 David Joyce의 《원론》 해설은 유클리드의 세 번째 공준을 흔히 ‘들어 올리면 접히는 컴퍼스(collapsing compass)’처럼 해석한다고 설명합니다.
그런 해석에서는 컴퍼스를 들어 다른 곳으로 이동하면서 반지름을 그대로 보존한다고 가정하지 않습니다. 그래서 명제 2는 주어진 선분과 같은 길이의 선분을 다른 점에서 만드는 절차를 따로 구성합니다.
중요한 점은 실제 고대 컴퍼스가 반드시 물리적으로 접혔다는 주장이 아니라는 것입니다. 이는 공준이 허용하는 연산을 최소한으로 해석하려는 후대의 설명입니다.
작도는 측정이 아니라 규칙으로 만드는 기하학이다
| 숫자 측정 | 유클리드식 작도 |
|---|---|
| 길이를 단위와 숫자로 읽음 | 길이의 같음·교점·선과 원의 관계를 이용 |
| 예: 5cm | 예: AB와 같은 반지름의 원 |
| 측정 오차가 핵심 | 허용된 논리적 연산이 핵심 |
그래서 유클리드의 작도를 ‘정밀한 자가 없어서 대신 사용한 방법’으로만 보면 핵심을 놓칩니다. 중요한 질문은 어떤 연산만으로 도형의 성질을 보장할 수 있는가였습니다.
참고 자료
- Euclid, Elements, Book I, Perseus Digital Library: 공준 1~3과 정삼각형 작도
- David E. Joyce, Clark University, Euclid’s Elements, Proposition I.2 commentary: 거리 이전과 collapsing compass 해석
