바퀴가 돈 횟수를 세고 한 바퀴에 이동하는 길이를 곱하면 이동 거리를 구할 수 있습니다. 비트루비우스의 수치로 직접 계산해 보면, 바퀴 지름을 어떻게 읽느냐에 따라 1마일 표시가 최대 5% 가까이 달라집니다. 비트루비우스의 《건축십서》에는 이 계산을 톱니와 떨어지는 구슬로 표시하는 수레 장치가 전합니다. 여기서 확인할 수 있는 것은 문헌의 설계와 환산 원리이며, 로마의 모든 도로를 이 장치로 측량했다는 사실은 아닙니다.
구슬 하나가 떨어지기 전, 세 바퀴가 맡은 일
《건축십서》 X.9.1~4의 Joseph Gwilt 번역에서 길에 닿아 굴러가는 수레바퀴는 지름 4피트, 한 회전의 이동 거리는 12.5피트로 제시됩니다. 바퀴 안쪽 중심에는 돌출한 톱니 하나를 둡니다. 그 위에는 가장자리에 톱니 400개가 있는 세로 원판을 놓아, 수레바퀴가 한 번 돌 때 원판이 한 톱니만큼 움직이게 합니다.
이 세로 원판이 한 바퀴를 마칠 때 옆으로 돌출한 다른 톱니가 위쪽의 가로 원판을 한 칸 옮깁니다. 가로 원판에는 구슬을 담은 구멍들이 있고, 그중 하나가 아래 상자의 배출구와 맞으면 구슬이 그릇으로 떨어집니다. 작은 움직임을 많이 모아 드문 한 번의 표시로 바꾸는 구조입니다. 가로 원판까지 매 마일마다 한 바퀴씩 돈다고 읽으면 계수 단계가 뒤섞입니다.
케임브리지대학교 출판부의 《Surveying Instruments of Greece and Rome》 제6장 공개 요약도 400회의 수레바퀴 회전, 한 번의 세로 원판 회전, 한 칸의 가로 원판 이동을 구별합니다. 다만 이는 같은 비트루비우스 기록을 해설한 것이지, 별도의 고대 설치 현장을 입증하는 자료는 아닙니다.
399회와 401회는 구슬만 보면 같을까?
출발할 때 표시를 0으로 맞추고, 구슬이 정확히 400회마다 하나씩 떨어진다고 가정해 문헌의 계수 논리를 따라가겠습니다. 톱니 누락·미끄러짐은 없는 이상적인 상태입니다.
| 수레바퀴 누적 회전 | 그릇의 표시와 아직 남은 계수 |
|---|---|
| 399회 | 구슬 0개. 첫 400회까지 1회 남음. |
| 400회 | 구슬 1개. 다음 구간의 계수는 0회. |
| 401회 | 구슬 1개. 다음 구간에서 1회 진행. |
| 950회 | 구슬 2개. 다음 구간에서 150회 진행. |
표에서 399회와 401회는 구슬 수가 다릅니다. 반면 400회와 401회는 구슬 수가 같습니다. 이동은 계속되지만 표시가 연속적으로 바뀌지는 않는다는 뜻입니다. 950회라면 950=400×2+150이므로 완성한 두 구간과 미완성 구간을 따로 읽어야 합니다.
구슬 두 개만 보고 총거리를 정확히 두 마일이라고 말할 수 있을까요? 이 이상적인 계수 모형에서 구슬 표시만 알면 거리는 두 마일 이상, 세 마일 미만입니다. 잔여 150회까지 따로 알 때에만 2+150/400=2.375마일이라고 계산할 수 있습니다. 이 잔여 회전 읽기 기능이 원전 장치에 별도 눈금으로 구현되었다고 덧붙이는 것은 아닙니다.
출발 전에 그릇만 비우면 0으로 맞춘 것일까요? 앞의 이상적인 모형에서 세로 원판에 이미 200회분이 남아 있는데 그릇만 비웠다고 해 보겠습니다. 다음 구슬은 새로 400회가 아니라 200회 만에 떨어집니다. 그때 새로 간 거리는 문헌 환산으로 12.5×200=2,500피트, 반 마일입니다. 결과를 담는 그릇과 도중의 계수 상태는 별개이므로, 출발점을 맞추거나 이전 상태를 알아야 새 여정의 거리를 읽을 수 있습니다. 실제 장치의 초기화 손잡이나 운용법이 전한다는 뜻은 아니며, 계수 규칙에서 도출한 반례입니다.
12.5피트가 5,000피트가 되는 계산
문헌의 환산: 12.5피트/회 × 400회 = 5,000피트 문헌에서 5,000피트 = 1,000걸음(복보) = 1로마마일
여기의 피트와 마일은 현대 영미권 단위가 아닙니다. 미터로 바꾸려면 적용할 고대 단위 길이에 대한 근거가 더 필요하므로, 원전 내부의 비례 관계까지만 사용하겠습니다.
지름이 4라면 둘레는 정확히 12.5일까요? 현대 기하에서 완전한 원의 둘레는 지름×π이므로 약 12.5664피트입니다. 400회를 곱하면 약 5,026.55피트로, 문헌의 5,000피트보다 약 0.53% 큽니다. 이는 지름과 둘레를 동시에 정확값으로 둘 수 없다는 수치 점검입니다. 바퀴의 실제 접지 상태도 모르는 채 ‘로마 거리계의 오차는 0.53%였다’고 결론 내릴 수는 없습니다.
캉대학교 Plan de Rome의 거리계 해설은 더 앞선 문제를 짚습니다. 전승된 지름 표현에서 et sextantes를 제외하고 ‘4피트’로 읽어야 제시된 계산이 대체로 맞는다는 것입니다. 이 글의 4피트 역시 이런 텍스트 해석과 무관한 확정 실측값은 아닙니다. 문헌을 어떤 수치로 읽을지, 그 수치를 기계로 어떻게 구현할지, 만들어진 기계가 얼마나 정확할지는 세 번에 나누어 확인해야 합니다.
바퀴 지름을 어떻게 읽느냐에 따라 1마일이 달라집니다
문헌의 두 숫자 ‘지름 4피트’와 ‘한 바퀴 12.5피트’를 나누면 3.125입니다. 원주율을 3⅛로 놓은 셈인데, 바빌로니아 점토판에서 읽히는 근삿값과 같은 수입니다. 이 차이가 1마일 표시에 어떤 영향을 주는지, 지름을 읽는 방식별로 계산해 봤습니다.
| 지름을 이렇게 볼 때 | 한 바퀴 둘레 | 400회전 거리 | 문헌의 5,000피트와 차이 |
|---|---|---|---|
| 문헌 그대로(둘레 12.5피트) | 12.5피트 | 5,000피트 | 기준 |
| 지름 4피트의 실제 원둘레 | 12.566피트 | 5,026.5피트 | +0.53% |
| et sextantes를 넣어 4⅙피트로 | 13.090피트 | 5,236피트 | +4.72% |
| 둘레가 정확히 12.5피트인 지름 | 3.979피트 | 5,000피트 | 0% |
둘레가 정확히 12.5피트가 되려면 지름이 3.979피트여야 합니다. 흔히 쓰는 로마 1피트 29.6cm로 바꾸면 4피트 바퀴와의 차이는 약 6mm입니다. 목수가 바퀴를 만들 때 충분히 생길 수 있는 차이라서, 문헌의 12.5피트를 ‘4피트 바퀴의 둘레를 깔끔하게 반올림한 값’으로 읽어도 무리가 없습니다.
반면 전승된 표현의 et sextantes까지 살려 지름을 4⅙피트로 읽으면, 400회전마다 236피트를 더 가서 차이가 4.72%로 커집니다. 앞에서 소개한 캉대학교 해설이 그 부분을 빼고 읽어야 계산이 맞는다고 본 이유를 숫자로 확인할 수 있습니다.
바퀴의 마모도 계산해 볼 만합니다. 로마 1피트를 29.6cm로 잡으면 1로마마일은 약 1,480m이고, 지름 4피트 바퀴는 약 1.18m입니다. 쇠테가 닳아 지름이 1cm만 줄어도 같은 400회전에 가는 거리가 약 12.6m 짧아집니다. 표시는 1마일인데 실제로는 0.85% 덜 간 것입니다. 1피트 길이를 29.4~29.65cm로 바꿔도 1로마마일은 1,470~1,483m 범위라 결론은 달라지지 않습니다.
톱니가 정확히 세어도 거리가 틀리는 경우
계수 장치의 정확성과 길이 환산의 정확성을 분리하기 위해 현대 단위의 가상 바퀴를 놓아 보겠습니다. 한 회전에 2.00m 간다고 교정해 두었다면 500회 표시는 1,000m입니다. 그러나 미끄러짐 없이 실제로 굴렀을 때의 유효 둘레가 1.98m였다면 같은 500회가 뜻하는 이동 거리는 990m입니다.
회전 수를 하나도 놓치지 않았는데 표시가 10m 길어졌습니다. 표시값 1,000m를 기준으로 보면 1%, 실제 거리 990m를 기준으로 보면 약 1.01%의 차이입니다. ‘몇 퍼센트 틀렸다’는 말에서도 무엇으로 나누었는지 확인해야 합니다. 이 수치들은 로마 바퀴 치수나 실제 운행 오차가 아니라 교정의 역할을 보이는 예입니다.
미끄러짐은 또 다른 문제입니다. 바퀴가 제자리에서 헛돌면 회전은 늘어도 전진은 그만큼 늘지 않습니다. 반대로 바퀴가 잠겨 끌려가면 전진했어도 회전이 충분히 기록되지 않습니다. 어느 경우나 단순한 둘레×회전 수 관계를 그대로 적용할 수 없고, 오류의 방향도 같지 않습니다.
이제 구슬 한 개가 잘 떨어져도 세 가지는 따로 물을 수 있습니다. 출발점을 맞췄는가, 한 회전을 올바른 길이로 바꾸었는가, 바퀴가 실제로 굴렀는가입니다. 첫째가 틀리면 그릇만 비워서는 해결되지 않고, 둘째가 틀리면 톱니를 더 정교하게 만들어도 해결되지 않습니다. 거리계는 숫자를 세는 장치이면서, 그 숫자의 시작점과 단위를 정해야 하는 측정 도구입니다.
계산 방법과 참고 자료
표와 그래프의 수치는 정보호수가 계산했습니다. 둘레는 원주율 × 지름으로 구했고, 미터 환산에는 로마 1피트를 29.6cm로 가정했습니다.
- Vitruvius, 《건축십서》 X.9.1~4 (Gwilt 영역): 거리계의 구조와 12.5피트·400회전
- M. J. T. Lewis, 《Surveying Instruments of Greece and Rome》 6장 Hodometer: 계수 단계 해설
- 캉대학교 Plan de Rome, 비트루비우스 거리계: et sextantes 해석
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이 글은 비트루비우스가 남긴 육상 거리계 설명과 이를 다룬 현대 연구를 바탕으로 했습니다. 항해용 변형, 최초 발명자, 실제 보급 규모는 근거가 부족해 결론에서 다루지 않았습니다.
